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By Heinz-Georg Quebbemann

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2) Ihr Produkt ist das modulo char Fq reduzierte Kreisteilungspolynom Φn . Denn f¨ ur eine r r d Nichteinheit r gilt ord ζ < n, so dass t − ζ in einem Polynom t − 1 mit d < n vorkommt und damit nicht in der Reduktion von Φn . Da Φn den Grad ϕ(n) hat, muss seine Reduktion dann alle t − ζ r mit r ∈ (Z/nZ)∗ als Faktoren haben. Was wir hier gesehen haben, wird in der Fehlerkorrektur-Codierung benutzt. Erw¨ahnt sei an dieser Stelle aber auch, dass weitaus substantiellere Anwendungen der Galoistheorie existieren, n¨amlich Anwendungen auf algebraische Zahlen, algebraische Kurven, Modulfunktionen, .

Zum Beweis gen¨ ugt es zu zeigen, dass mit den elementar-symmetrischen s1 , . . , sn ∈ K0 [t1 , . . , tn ] der Einsetzungshomomorphismus ψ : K0 [u1 , . . , un ] −→ K0 [s1 , . . , sn ], ui → (−1)i si ein Isomorphismus ist. 3 einen Isomorphismus K ∼ = E, bei dem g in das vorher betrachtete Polynom f u ¨bergeht, und es folgt G(g) ∼ G(f ) = Gal(L|E) = Sn . = n ¨ber Offensichtlich ist ψ surjektiv. Um die Injektivit¨at zu zeigen, schreiben wir g = j=1 (t − λj ) u einem Zerf¨allungsk¨orper. Ausmultiplizieren und Koeffizientenvergleich liefert ui = (−1)i si (λ1 , .

N − 1} mit cj = 0, der Hamming-Abstand dist(c, c ) zwischen c, c ∈ Fnq die Anzahl aller j mit cj = cj , also dist(c, c ) = c − c , die Kugel mit dem Zentrum c und Radius r ist B(c, r) := {x ∈ Fnq | dist(c, x) ≤ r}, und ωq (n, r) bezeichnet die Anzahl der Elemente von B(0, r). Der Hamming-Abstand ist eine Metrik. Alle Kugeln vom Radius r ≤ n im Fnq haben das ”Volumen” r ωq (n, r) = j=0 n (q − 1)j . j Definition. Der Minimalabstand in einem Untervektorraum C ⊂ Fnq ist d(C) := min{dist(c, c ) | c, c ∈ C, c = c } = min{ c | 0 = c ∈ C}.

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